Metafizyka rachunku różniczkowego

https://archive.org/details/reneguenon/1946%20-%20The%20Metaphysical%20Principles%20of%20the%20Infinitesimal%20Calculus - "Metafizyczne zasady rachunku nieskończonościowego" to dysertacja doktorska Rene Guenona, wydana w roku 1946, ale w rzeczywistości napisana i obroniona 30 lat wcześniej. Z dzisiejszej perspektywy książka tyleż intrygująca, co i rozczarowująca. Guenon odwołuje się niemal wyłącznie do Leibniza oraz do scholastyków i filozofów starożytnych. Bardzo zdawkowo wspomina o teorii zbiorów Cantora, która w roku 1916 była już w miarę solidnie uformowana. Guenon traktował ją nieufnie. Niektóre fragmenty jego rozprawy pobrzmiewają duchem finityzmu matematycznego. Krytykuje pojęcie "liczb nieskończonych", uważając, że są to co najwyżej luźne terminy oparte na pewnej analogii z liczbami we właściwym sensie. Ale za te ostatnie zdaje się uważać tylko liczby naturalne dodatnie: ani zero nie jest dla niego "prawdziwą" liczbą, ani liczby ujemne, ani ułamki. Krytykuje używanie pojęcia "nieskończoności" w matematyce w taki sposób, który umożliwia mówienie np. o różnych rodzajach nieskończoności. Główny zarzut Guenona jest taki, że "autentyczna" nieskończoność jest tylko jedna, że w istocie to jest Pełnia, Jednia, Absolut, Bóg. Ein Sof, można rzec. "Nieskończoności" nowożytnych matematyków uważa raczej za "nieokreśloności", za "indefinite numbers".

W każdym razie tyle z tego na razie zrozumiałem, po fragmentarycznej lekturze i pobieżnym przejrzeniu całości.

In order to replace the false notion of "determined infinite," Guenon introduces, the idea of the indefinite, which is precisely the idea of a development of possibilities the limits of which we cannot actually reach; and this is why we (Guenon) regard this distinction between the Infinite and the indefinite as fundamental to all questions in which the so-called mathematical infinite appears. (to z szerszego omówienia kwestii metafizycznej i matematycznej nieskończoności, które można znaleźć tu: https://fountainmagazine.com/2011/issue-84-november-december-2011/the-metaphysical-versus-the-modern-sense-of-the-idea-of-infinite)

Świetnie, ze pan o tym wspomina, panie Adimadzie. Juz dawno miałem zapytać ale nie miałem kogo. Czy z tymi alefami Cantora, to tak powaznie czy to żart jest? Pamiętam, że Witkacy kpił z tego w Tumorze Mózgowiczu.

No cóż, jest to na poważnie: bez tego nie byłoby współczesnej matematyki w jej obecnym kształcie. Ale być może istniałaby inna...? Tu się przenikają różne problemy. Na przykład: czy z alefów i kontinuum powinniśmy zrezygnować, skoro być może są tylko - jak uważa Guenon, ale jak sądzili również matematycy znacznie bardziej mainstreamowi niż francuski ezoteryk - pewnymi abstrakcyjnymi pojęciami, a nie "prawdziwymi liczbami"? Czy może powinniśmy je akceptować, ale przyznając, że mają zupełnie inny charakter niż liczby... liczby jakie właściwie? Naturalne? Według Kroneckera, Bóg stworzył tylko liczby naturalne, reszta jest dziełem człowieka. Podobnie zdaje się twierdzić Guenon. Ale pewnie wielu matematyków - już wtedy, 100 lat temu, a co dopiero teraz - powiedziałoby, że ten sposób myślenia jest niepotrzebnie ograniczony poprzez koncentrację na pojęciu "liczby", podczas gdy nowoczesna matematyka korzysta ze znacznie bardziej ogólnego pojęcia "zbioru".

Co więcej, tego typu teorie pozwalają na mówienie o liczbach, do których nie stosują się żadne zwyczajne sposoby liczenia, krótko mówiąc: o liczbach, które nie są już tak naprawdę liczbami, ale po prostu czymś, co się określa takim mianem z uwagi na pewną konwencję - pisze Guenon na str. 17 swojej książki.

Ale jednocześnie ostrze krytyki Guenona jest wymierzone, JEŻELI DOBRZE ROZUMIEM, nie w sam koncept analizy matematycznej, ile raczej w (nad)używanie terminu "nieskończoność". Chwilami można odnieść wrażenie, że odczepiłby się od Leibniza i innych, gdyby zamiast mówić o "nieskończoności" poprzestaliby na "indefinite".

Swoją drogą, czasami myślę, że cała matematyka, którą uprawiam, i którą uprawia większość matematyków, to lipa No bo cóż to w ogóle za pomysł: wziąć np. wszystkie teorie jakiejś logiki i coś tam z nimi robić, albo za jednym zamachem (nieskończoność aktualna), albo niby po kolei, ale i tak w nieskończoność. Można powiedzieć, że w ten sposób to tylko Dobry Bóg może operować.

Albo dowody nie wprost. Też kontrowersyjna rzecz.

W tej optyce jedyna prawdziwa matematyka to musiałby być mix ultra-finityzmu z jednej strony (a więc bazowania nie tylko na skończoności, ale wręcz na skończoności osiągalnej dla naszych realnych mocy obliczeniowych), oraz intuicjonizmu / konstruktywizmu z drugiej: wierzymy tylko w dowody konstruktywne, nie ma tak, że "jest A, bo gdyby nie A, to byłby zonk".

Juz dawno miałem zapytać ale nie miałem kogo.

Myślę, że na tym forum co najmniej p. Regiomontanus może się wypowiedzieć; zapewne nawet w sposób więcej wnoszący niż moje skromne wywody.

Wyszła parę lat temu taka sympatyczna książka: "Mathematics and the Divine - Historial Study" (https://www.elsevier.com/books/mathematics-and-the-divine/koetsier/978-0-444-50328-2). Jest m.in. o Ramonie Lullu, Cantorze, Guenonie, Eulerze itd. Mam na dysku 

Ja oczywiście lejek jestem ale liznąłem trochę Wittgenstaina. W budowie precyzyjnego języka opisu świata i relacji w nim występujących korzystał z Boole'a i potem Cantora i się biedny przejechał tak, że w końcu oszalał. Jego końcowe wnioski były podobne do pańskich, że  właściwie jak się zastanowić to niemożliwe jest stworzenie pewnego systemu językowego/matematyczno-logicznego oddającego rzeczy tego świata. To chyba kara za wieże Babel? Jak pan miarkujesz? Jak rzydż? Bardzo pan ciekawą ma robotę. Zazdraszczam

Ale za taki np. pan Nieznański ładnie sformalizował ontologię Arystotelesa i Tomasza: http://bazhum.muzhp.pl/media//files/Studia_Philosophiae_Christianae/Studia_Philosophiae_Christianae-r2008-t44-n1/Studia_Philosophiae_Christianae-r2008-t44-n1-s207-212/Studia_Philosophiae_Christianae-r2008-t44-n1-s207-212.pdf (to recenzja tej książki).

I teraz kiedy moderniści przyjdą podpalić dom wasz, Kościół, kiedy mętniactwem w drzwi załomocą, odpowiadacie Państwo konkretnie:
- Jaka jest twoja relacja z Bogiem? --- Jest to stosunek przyczyny sprawczej, ten zaś jest w odniesieniu do wszystkich bytów wziętych razem jest quasi-półstrukturą multiplikatywną.
- Kim jest Bóg? --- Minimalną jedyną przyczyną sprawczą w tejże strukturze.

Ale oczywiście to są już inne sprawy, to po prostu formalizacja filozofii ogólnej przy pomocy aparatu matematyczno-symbolicznego. Natomiast to, od czego tu wyszliśmy, to filozofia matematyki.

Współczuję Guenonowi, że tak boli go nieskończoność - ale tylko trochę. Próbowałem czytać jego "Metafizyczne zasady", ale się szybko znudziłem i nie doczytałem.

Matematyka to przecież czysta forma. Żadne pojęcia matematyczne, nawet liczby naturalne, nie są "prawdziwe" - nie istnieje w rzeczywistości liczba 5. Cóż z tego, że nieskończoność "nie jest liczbą" albo że "nie istnieje w rzeczywistości"? Okrąg też nie istnieje w rzeczywistości. Podobnie "nie istnieją" macierze, liczy zespolone, rozmaitości różniczkowe, grupy, itd. Mimo to ich badanie jest źródłem niezmierzonych uciech dla całych rzesz wtajemniczonych.  A niektórym jeszcze za to płacą!

Matematyka mówi bardzo precyzyjnie, ale mówi o niczym. I właśnie to czyni ją tak wdzięcznym polem intelektualnej działalności! To jak asceza i pustelnia zarazem - matematyk może zupełnie zignorować skrzeczącą rzeczywistość.

Mnie boli co innego: niezupełność i twierdzenie Gödla. Tego Pan Bóg naprawdę nie musiał nam zrobić.

Panie Regiomontanusie, w wątasie o O. Pelanowskim jest zagadka, może by nas Pan udelektował jakąś analizą kognitywnie dostępną proletariatowi. W wątku nowości mszapiaseczno zadałem Panu pytanie dotyczące kazania bpa Williamsona, zamieszczonego na tym blogu. Biskup wspomina tam o planowanych gułagach w Kanadzie. Czy mógłby Pan w wolnej chwili odnieśc się. Z góry dziękuje i pozdrawiam

Podobnie "nie istnieją" macierze, liczy zespolone, rozmaitości różniczkowe, grupy, itd.

No, ale to nie jest taka oczywista oczywistość. To pewne stanowisko filozoficzne. Równie dobrze można powiedzieć, że "istnieją": dajmy na to, w świecie idei. I że są tylko (i aż) odkrywane przez nas.

Mnie boli co innego: niezupełność i twierdzenie Gödla. Tego Pan Bóg naprawdę nie musiał nam zrobić.

Czy to aż takie bolesne? Bądź co bądź, to też dotyczy tylko teorii w językach formalnych począwszy od arytmetyki (gdy tymczasem niektórzy próbują to w mniej lub bardziej wątpliwy sposób przenosić na grunt poza-matematyczny i poza język sformalizowany). Skoro więc matematyka i tak "nie bada żadnej rzeczywistości", tylko pewne "przydatne" (albo i nieprzydatne!) "konstrukty", no to w gruncie rzeczy nie jest niczym strasznym to, że po przyjęciu określonych symboli i założeń co do nich, wychodzi nam, że istnieją zdania mające model, a nie mające dowodu w teorii. W końcu to nie jest jakaś "wielka prawda na temat prawdy", tylko prawda na temat pewnych struktur matematycznych i operacji na nich.

Czy to aż takie bolesne?

W praktyce nie.  Jednak zawsze mnie to w pewien sposób deprymowało. Przecież mówimy o arytmetyce - kości pacierzowej matematyki.  Większość ludzi, kiedy się o tym dowiaduje po raz pierwszy, przyjmuje to z niedowierzaniem i zaskoczeniem. Chyba każdy by wolał, żeby twierdzenia Gödla nie były prawdziwe.

Co do poza-matermatycznych interpretacji wyników Gödla, to tak bardzo mnie nie przekonują, choć przyznam, że książkę Douglasa Hofstadtera "Gödel, Escher, Bach" przeczytałem z wielką przyjemnością. Traktuję ją jednak raczej jako rzecz z gatunku "matematyki rekreacyjnej".

Ale wie Pan... ja np. miałem takie momenty, kiedy sobie myślałem: "o kurde, czyli są w arytmetyce twierdzenia PRAWDZIWE, lecz niedowodliwe środkami arytmetyki, MOCNA RZECZ". No, niby tak, ale zaraz, zaraz... W logice często mówimy, że zdanie jest "true" wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe w KAŻDYM modelu (z klasy, którą rozważamy). Czyli że jest tautologią. Ale logika pierwszego rzędu jest pełna (semantical completeness), więc nie ma opcji, żeby dla tautologii nie było dowodu. A zatem, jak to pisze p. Grzegorz Jarzembski:

Między dwoma twierdzeniami Godla - o niezupełności arytmetyki i zupełności FOL [tj. o pełności semantycznej, najbardziej znany wariant, przez teorie maksymalne, pochodzi od Henkina, przy. Adimad] nie ma sprzeczności. Upewnijmy się, że to rozumiemy: pierwsze twierdzenie mówi, że zdania arytmetyczne prawdziwe w pojedynczym modelu - standardowym modelu liczb naturalnych - nie muszą być dowodliwe. A twierdzenie o  zupełności odniesione do arytmetyki  Peano  mówi  tyle,  że  każde zdanie  prawdziwe  we WSZYSTKICH modelach tej teorii, ma dowód w PA.

(https://www-users.mat.umk.pl/~grzegorz/r1.pdf, str. 157)

Zdanie Goedla, jeżeli dobrze rozumiem, NIE jest tautologią. Tak więc, czy fakt, że jest prawdziwe w modelu standardowym, niemniej nie ma dowodu w teorii, powinien nas aż tak rozbrajać?

Pozwolę sobie zareklamować (się): https://www.youtube.com/channel/UCp4iHWL_QYF6dBxy7P99Sag - kanał "Topological Spaces". Wideoprezentacje na temat różnych, zwykle dość niszowych i hermetycznych, zagadnień z topologii. Supra / infra-topologie, zbiory intuicjonistyczne, różne klasy zbiorów "słabo-otwartych" itd. Takie tam hobby.

Rozmyte zbiory intuicjonistyczne.

https://www.youtube.com/watch?v=iOfGsEaB8xw

Życzymy szybkiego osiągnięcia miliona subskrypcji. 

Zbyt hermetyczna tematyka ;-) Ale sympatyczna. Jakoś mocno w to wszedłem. Niestety, cieszy się ona umiarkowaną atencją w mainstreamie. Chodzi o tematy typu: generalized topological spaces, minimal structures, weak structures, intuitionistic (fuzzy) topological spaces, nano topological spaces, weak open / closed sets itd. Popularne w Indiach i niektórych krajach arabskich...

Nowy film. Tym razem z dziedziny tzw. rough sets Pawlaka.

https://www.youtube.com/watch?v=CM5NV62_LWI